lunes, 23 octubre, 2017

La voz del hielo


Burbujas y grietas en el hielo

Burbujas y grietas en el hielo

La naturaleza es el recurso supremo. 

Olivier Messiaen

El matemático y físico francés Jean le Rond d’Alembert es conocido fuera del ámbito científico principalmente por su cardinal participación —junto a Denis Diderot, que fue el principal impulsor del proyecto— en la magna «Enciclopedia», de cuyo «Discurso preliminar» fue redactor. En este clarividente prólogo cuya lectura íntegra recomendamos, D’Alembert sostiene una tesis incomparablemente sagaz que, por desgracia, no ha sido objeto de la atención que merece:

A poco que se haya reflexionado sobre la relación que los descubrimientos tienen entre ellos, es fácil advertir que las ciencias y las artes se prestan mutuamente ayuda, y que hay por consiguiente una cadena que las une

Jean Le Rond D'Alembert, según retrato de Louis Tocqué

Jean Le Rond D’Alembert, según retrato de Louis Tocqué

¡Sí, todo está relacionado! Algo parecido dijo Hegel años más tarde, porque la esencia del conocimiento humano es la conexión de unas cosas con otras a través de analogías, relaciones y fórmulas. Sabemos cuando las cosas encajan, con independencia de qué se trate. Entre las más notables contribuciones de este sabio francés se encuentra la fabulosa «ecuación de onda», una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden que describe cómo se propaga la energía de un lugar a otro mediante una perturbación —porque eso es lo que hacen las ondas, llevar energía de un sitio a otro—: el sonido, la luz, las ondas en la superficie del agua, la vibración de la cuerda de un instrumento musical.

Primera-página-del-primer-tomo-de-la-Enciclopedia

Primera-página-del-primer-tomo-de-la-Enciclopedia

Vamos a explicar con algún detalle esta idea para el lector de la mirada infinita que no tenga formación científica. Lo primero que debe comprenderse es que una ecuación es una tesis en la que se sostiene que lo que está a la izquierda del signo igual coincide con lo que está a la derecha. Si esta igualdad tiene lugar en toda circunstancia, entonces hablamos de «identidad»: lo que está a la izquierda y lo que está a la derecha del signo igual son lo mismo pese a su diferente apariencia. Si tal igualdad sólo se produce en determinados casos —que hay que determinar, aunque ésa es otra historia—, entonces hablamos propiamente de ecuación.

Modos normales de vibración de una cuerda

Modos normales de vibración de una cuerda

Podríamos decir que «semana = lunes, martes,…, sábado y domingo» es una identidad, ya que una semana es la misma cosa que los días que la constituyen. Si el lector recuerda sus viejos estudios de matemáticas, vendrá a su cabeza la relación fundamental de la trigonometría, que afirma que para todo ángulo a se verifica la expresión cos2 a + sen2 a = 1. Esta fórmula es una identidad, ya que pese a la distinta apariencia de ambos términos, en realidad son lo mismo para cualquier ángulo a. La ilustre ecuación de onda descubierta por D’Alembert es una de estas identidades.

En una ecuación «diferencial» intervienen las derivadas. ¿Qué es una derivada? La manera que tienen los matemáticos y los físicos de referirse a las variaciones de una determinada magnitud. Imaginemos que la temperatura máxima durante el día sube a lo largo de una semana a razón de dos grados cada día —por ejemplo: el lunes, la máxima es de 20ºC; el martes, de 22ºC y así sucesivamente—. Pues bien, diremos que la derivada de la temperatura máxima con respecto al tiempo medido en días es de 2ºC. Eso se escribe de manera compacta como sigue:

ecuacion

Estatua dedicada a Leibniz en la universidad de Leipzig

Estatua dedicada a Leibniz en la universidad de Leipzig

La notación «d/dt» fue inventada por Leibniz —quien fue, junto con Newton, el inventor de esta herramienta maravillosa— para referirse a la variación de lo que haya en el numerador con respecto a lo que haya en el denominador. En ocasiones, una determinada magnitud física depende de dos —o más— variables. Por ejemplo, la talla de un niño depende de la talla de sus padres, de su edad y de la alimentación que recibe; nuestro cansancio depende de los esfuerzos físicos que hagamos y de las horas de sueño; el dinero que tenemos en la cuenta depende de lo que ingresemos, de lo que gastemos, de las comisiones del banco y de los intereses, si los hubiere; cuando estamos ascendiendo a una montaña, la temperatura en cada punto de nuestro recorrido depende de la hora del día y de la altura, a igualdad de otros factores, es decir, no consideramos el caso en el que, por ejemplo, llegue un frente frío.

Cuando los físicos o los mate­máticos estudian estas magnitudes que dependen de más de un factor, emplean el término «derivada parcial» para referirse a la variación de la magnitud con respecto a uno solo de los factores manteniendo los demás constantes. Es lo que los economistas designan con la expresión latina «ceteris paribus»: a igualdad de las demás variables.

En nuestro ejemplo de la excursión por la montaña, designaremos la variación de la temperatura causada únicamente por nuestro ascenso con la expresión aT/ah , en la que T es la temperatura y h es la altura, ya que podemos realizar la aproximación, para pequeños plazos, de que el tiempo es constante. El símbolo parecido a la imagen especular del número seis se lee como «derivada parcial». Si, por el contrario, acampamos en un determinado lugar y nos interesaremos por la variación del termómetro a lo largo del día, estaremos estudiando aT/at, esto es, la derivada parcial de la temperatura con respecto al tiempo, ya que la altura es constante.

Primera y segunda derivada de una función creciente

Primera y segunda derivada de una función creciente

La ecuación encontrada por D’Alembert es una ecuación diferencial lineal en derivadas parciales de segundo orden. Expliquemos esto. Que una ecuación sea lineal quiere decir que es como una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. En palabras simples: si doblamos o triplicamos el valor que introducimos en la fórmula, el resultado asimismo se duplica o se triplica. ¿Y qué quiere decir que la ecuación diferencial sea «de segundo orden»? Algo sencillo de entender: No estudiamos la variación, sino la variación de la variación, esto es, la derivada de la derivada. Si uno sube por una cuesta —primera derivada positiva— y la cuesta es cada vez más empinada, entonces la segunda derivada es también positiva, mientras que si uno sube una cuesta que es cada vez menos empinada, la segunda derivada es negativa ya que el ritmo al que sube es paulatinamente menor. A esta variación de la variación se la denomina en matemáticas «curvatura», y se corresponde con el concepto que esa misma palabra tiene en el lenguaje corriente: se refiere a la forma de la curva.

Equipados con estos importantísimos conceptos del cálculo, vayamos con la expresión que encontró D’Alembert. Por conveniencia en la explicación vamos a considerar que la cuerda de una guitarra está en una posición horizontal de equilibrio. Cuando el guitarrista pulsa el instrumento, provoca una perturbación que altera ese equilibrio inicial y se propaga a lo largo de la cuerda, se amplía en la caja de resonancia, se transmite por el aire y llega hasta nuestro oído. Si desig­namos con la variable «u» la posición vertical que ocupa un punto cualquiera de la cuerda —que en situación de reposo vale lo mismo, es decir cero, en todo punto de la cuerda—, el hallazgo de nuestro enciclopedista fue el siguiente:

ecuacion2

En otras palabras, que la variación de la variación con respecto al tiempo —representado por «t» en la fórmula— y con respecto al espacio —representado por «x»— de la posición «u» de cada punto de la cuerda son iguales, salvo un factor de escala que en la fórmula aparece como c2, y que no es otra cosa que la velocidad a la que se propaga la perturbación al cuadrado. Creo que la curvatura con respecto al espacio es algo sencillo de imaginar. Basta con tomar una fotografía de la cuerda mientras vibra y ver cómo se curva a consecuencia de la interpretación del guitarrista.

La derivada segunda con respecto al tiempo es la aceleración, que es cualquier cambio de la velocidad. Recordemos que estamos ante una identidad, por tanto lo que haya a la izquierda del signo igual es lo mismo que lo que haya a la derecha, y los puntos en los que la aceleración es máxima son también los puntos en los que la curvatura es máxima, y los puntos en los que la aceleración es mínima son los puntos de curvatura mínima.

Onda viajera en la superficie del agua

Onda viajera en la superficie del agua

Para terminar esta pequeña e incompletísima explicación de la hazaña intelectual de D’Alembert —ni siquiera hemos explicado cómo son las soluciones de la ecuación, pero no conviene abusar de la paciencia— recordaremos que principalmente existen dos tipos de ondas: las «viajeras», que son las que hemos observado desde pequeños cada vez que arrojábamos una piedra al agua, y las «estacionarias», en las que hay dos puntos que permanecen fijos, como es el caso de la cuerda de la guitarra que hemos venido utilizando como ejemplo. En este caso, la onda estacionaria que crea el guitarrista ocasiona una onda viajera en el aire que llega hasta nuestra oreja, hace vibrar el tímpano, donde provoca de nuevo una onda estacionaria que crea una onda viajera que se propaga a lo largo de la cadena de huesecillos de preciosos nombres que estudiamos en la infancia, y progresa hacia ese portento fisiológico que es el órgano de Corti, misterioso lugar donde se encuentran unas células capaces de convertir la energía mecánica que transportan las ondas en impulsos eléctricos que conduce el nervio auditivo hacia el cerebro.

 

EL SONIDO DEL HIELO

Ha llegado el momento de seguir el consejo de D’Alembert y gozar esté­ti­ca­mente con unas ondas muy particulares. Para ello vamos a escuchar el sonido que producen los instrumentos musicales más grandes y hermosos del mundo: los lagos helados. La superficie del hielo está llena de grietas y de burbujas de aire que producen espontáneamente sonido a lo largo del día a consecuencia de las tensiones mecánicas derivadas de los cambios de temperatura. Este fascinante mundo sonoro queda recogido gracias a micrófonos que se introducen en el agua a través de un taladro practicado en el hielo que posteriormente se cierra. En algunas de las grabaciones también se escucha el sonido que se produce cuando se percute la superficie helada como si fuera un gigantesco tambor. Los primeros registros que escucharemos proceden de lagos de altura —por encima de los 2.400 m. — del parque natural de Yosemite, en California.

Lago Tenaya helado

Lago Tenaya helado

Así sonaba el lago Tenaya a las 10:15 de la mañana del 13 de enero de 2012 según grabación de la compositora y constructora de instrumentos Cheryl E. Leonard. Por no abusar de la paciencia del lector, no hemos explicado que las frecuencias altas —esto es, las componentes más agudas del sonido— viajan más deprisa que las bajas, que llegan más tarde hasta el oyente, lo cual hace que se perciba el efecto de un impresio­nante glissando que tanto recuerda a los efectos especiales de las películas de ciencia-ficción.

http://www.allwaysnorth.com/Tenaya1-13am2UW.wav

Y así sonaba el lago Catedral el mismo día a las 15:30:

Lago Catedral helado

Lago Catedral helado

Ahora escuchemos una grabación absolutamente sobrecogedora recogida por el músico alemán Andreas Bick de un lago no identificado cercano a Berlín.

https://silentlistening.wordpress.com/2008/05/09/

Toda creación artística se sirve de una complejísima infraestructura física, bioquímica y fisiológica que permite su apreciación. Por razones que se nos escapan, vivimos en una sociedad que sólo muy raramente promueve el proyecto de D’Alembert que relaciona el arte con sus bases científicas, o bien no considera la colosal belleza, la inmaculada perfección de las fórmulas que explican un fenómeno. ¿Cómo es posible pasar por este mundo sin la menor curiosidad por los fundamentos sobre los que se asienta lo que merece la pena, qué sensibilidad hacia lo que tenemos enfrente puede desarrollarse si no sabemos en qué consiste, cómo es posible amar, soñar o disfrutar de nada, cómo se puede tener alguna clase de esperanza cuando no se conoce?

Querido lector: estudia, lee, aprende. Sólo así comprenderás que nunca has estado en ningún sitio que no fuera un milagro.

Álvaro Fierro Clavero
 www.alvarofierro.com

Comentarios

  1. Muy bello, gracias.
    Una explicación de la solución (en español aunque parece contener errores tipográficos) en:
    htpps://www.youtube.com/watch?v=_pDXefHeCIc
    Pero en cuanto a ¿qué sensibilidad hacia lo que tenemos enfrente puede desarrollarse si no sabemos en qué consiste?…no podemos saber en qué consiste el misterio y sin embargo nos atrae, tal vez es más cierto que la sensibilidad previa es la que nos impulsa a leer, estudiar, aprender.

  2. Muchas gracias! Qué razón tienes…

    Hermosa aventura que nos ofreces desde el cálculo al sonido del hielo, particular música.

    Y si con el cálculo seguimos con los límites infinitos de una función, hasta se podría explicar la santidad con una función que tiende a infinito…

  3. Rafael López de Novales dice:

    Muy interesante el ruido del lago helado pero, ¿no se tratará de algún siluro almmorzando? Ja ja

    Lo de las ecuaciones diferenciales de Dalambert me resulta muy familiar —seis años de carrera en que las ondas eran siempre el plato del día—, pero felizmente olvidadas en cincuenta años de ejercicio profesional sin tocarlas,

    Muchas gracias es muy interesante.

    Un abrazo

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