viernes, 20 octubre, 2017

Jackson Pollock y los fractales


Los números naturales fueron creados por Dios.
El resto es obra del hombre.
Leopold Kronecker 

El camino más corto entre dos verdades del análisis real
pasa frecuentemente por el análisis complejo.
Jacques Hadamard

Cormorán buceando

Cormorán buceando

Los seres humanos no somos los únicos que nos servimos de los números, estos misteriosos instrumentos cuya función es la de representar la multiplicidad. Los estudiosos de la conducta animal han detectado que un cuervo puede contar hasta tres y un loro hasta seis. Acaso el pájaro con mayor capacidad para el cómputo sea el cormorán: Este pájaro excepcional puede permanecer bajo el agua hasta un minuto y en sus zambullidas en busca de pescado desciende hasta los diez metros. Los pescadores chinos de agua dulce les atan un lazo al cuello para impedir que traguen su presa. Al parecer, los cormoranes cobran peces para sus amos hasta la séptima captura. En ese momento no hay manera de que el cormorán se sumerja de nuevo en el agua si no se le retira el lazo y se le permite cazar para sí mismo. Una vez cobrada la recompensa, el esforzado cormorán repite el ciclo de capturas, lo que lleva a pensar que esta asombrosa ave es capaz de entender el número ocho.

Hueso de lobo de Dolni Vestonice

Hueso de lobo de Dolni Vestonice

No podemos saber cuándo los sapiens adquirimos el concepto de número natural, pero las muescas encontradas en huesos con más de 30.000 años de antigüedad –el Hueso de Lobo de Dolni Vestonice, Moravia, data del Auriñacense y presenta un total de cincuenta y cinco marcas– indican que seguramente existe un concepto de número en nuestras cabezas ya en el paleolítico. La civilización egipcia, según se constata en el papiro Rhind, ya emplea fracciones cuyo numerador es la unidad.

En paralelo a la adquisición del concepto de número surge el problema de la notación, ya que representar cincuenta y cinco muescas requiere una importante inversión de tiempo para la representación y la lectura. Roma, tan grande en tantas cosas, no ha aportado a la historia el nombre de un solo matemático probablemente porque representaba las cantidades mediante un sistema aditivo –XVII representa al diecisiete porque X + V + II suman esta cantidad– que es inadecuado para algo tan sencillo como sumar dos números –es decir, 17 + 3 para los romanos no es XVII + III = XVIIIII, sino que es XX–. Únicamente tres civilizaciones produjeron un sistema de representación numérica posicional, que permite el manejo de grandes números y es tan necesario en contabilidad para el cobro de impuestos y el desarrollo de un estado: India –que se vale de un sistema de base 20–, China –que emplea la base 10– y Babilonia, que empleó simultáneamente las bases 10 y 60 y posiblemente da lugar a la numeración helenística.

Sello dedicado a Al-Juarismi

Sello dedicado a Al-Juarismi

Pertenece a los árabes el mérito de haber fundado una de las grandes ramas de la matemática: el álgebra. En la lengua del Corán, el matemático Muhammad al Juarismi publicó en el siglo IX el tratado que incluye en su título la palabra árabe ‘al-jabr’, que designa una operación matemática fundamental: la transposición de términos en una ecuación que los maestros enseñan en la escuela elemental: ‘lo que está sumando, pasa restando; lo que está multiplicando, pasa dividiendo’.

Niccolo Tartaglia

Niccolo Tartaglia

La sucesiva ampliación del concepto de número es una de las aventuras más fascinantes de la historia. En el siglo XVI surge en Italia una preclara escuela de algebristas que literalmente revoluciona nuestro concepto de número: Girolamo Cardano, Niccolo Fontana, apodado ‘Tartaglia’ por su tartamudez, Scipione del Ferro, Ludovico Ferrari y Rafael Bombelli estudian las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. En su ‘Ars Magna’, el tratado de álgebra más importante desde que los babilonios resolvieron la ecuación de segundo grado, Cardano planteaba el siguiente problema:

Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40, es evidente que esta cuestión es imposible. Sin embargo, nosotros la resolvemos de la siguiente manera:

Girolamo Cardano

Girolamo Cardano

Cardano planteaba entonces el sistema de ecuaciones:

x + y = 10

x.y = 40

cuyas dos soluciones correctas eran 5 más y menos la raíz cuadrada de –15.

Rafael Bombelli llamó ‘cantidades salvajes’ a las raíces cuadradas de los números negativos –más tarde denominadas ‘imaginarias’ por Descartes–, y tuvo una idea sencillamente genial mientras estudiaba las ecuaciones de tercer grado que, por consideraciones geométricas elementales, se sabía que siempre tienen solución. Pese a que aparecían estas cantidades salvajes, era posible operar con ellas sin tener muy claro lo que pudieran significar los pasos intermedios ya que se llegaba a resultados perfectamente coherentes, comprensibles y reales tras las adecuadas manipulaciones algebraicas.

Sello dedicado a Cauchy

Sello dedicado a Cauchy

Para que el lector de ‘La mirada infinita’ sin formación matemática lo entienda, es como si para acceder al piso de arriba no dispusiéramos de escalera interior y fuese necesario salir de la casa y aprovechar una escalera de una vivienda contigua para alcanzar el destino. ¿Funciona, no? Pues para qué hacerse más preguntas, pensaron los matemáticos. Habían nacido los números complejos, una nueva clase de números que alcanzó enorme desarrollo gracias a las contribuciones superlativas de dos matemáticos insignes del siglo XIX: Augustin Louis Cauchy y Bernhard Riemann. Su papel en matemáticas es crucial desde que fueran empleados por el gran Carl Friedrich Gauss –a quien asimismo debemos su denominación moderna– para demostrar en 1799 el ‘Teorema fundamental del álgebra’, que en su expresión más sencilla demuestra que todo polinomio pasa por cero tantas veces como indique su grado. Debemos a Euler el empleo de la letra ‘i’ para designar la raíz cuadrada de –1.

“La sucesiva ampliación del concepto de número es una de las aventuras más fascinantes de la historia”

Fig 1. Algunos números complejos

Fig 1. Algunos números complejos

La representación gráfica de estos números sin los cuales no puede darse un paso en mecánica cuántica o en electricidad o en el estudio de fenómenos periódicos en general, se debe al matemático noruego Caspar Wessel, en 1797, y al suizo Jean Robert Argand, en 1806. Para ello basta asociarlos a puntos del plano –o, si el lector no tiene formación matemática, bastará con que los asocie a flechas– sin más que representar en el eje horizontal la parte real y, en el eje vertical, la parte imaginaria. Veamos en la figura 1 algunos ejemplos: El número natural 3, que no tiene parte imaginaria, se representa simplemente sobre el eje horizontal contando tres unidades. El número complejo 3+4i requiere del empleo de tres unidades en el eje horizontal y cuatro unidades en el eje vertical. El número 4i se representa sencillamente sin más que contar cuatro unidades en el eje vertical.

Fig 2. Suma de complejos

Fig 2. Suma de complejos

Los matemáticos enseguida aprendieron a hacer operaciones con los números complejos. Para la adición basta con sumar independientemente las partes real e imaginaria –es decir (2+5i) + (1+4i) = 3+9i, ya que 2+1 = 3 y 5+4=9–, lo que gráfica­mente puede llevarse a cabo mediante la popular regla del paralelogramo. La multiplicación resultó ser algo sorprendente: El producto de dos complejos es otro número complejo cuya longitud –recordemos que los hemos asociado a flechas– es el producto de las longitudes de los factores, y cuyo ángulo con el eje horizontal es la suma de los ángulos de cada uno de los factores, según se muestra en la figura 2.

 

LOS FRACTALES

Gaston Julia

Gaston Julia

Gaston Julia fue un matemático francés nacido en Argelia en 1893. Perdió la nariz a consecuencia de una herida que sufrió en la Primera Guerra Mundial, lo que le obligó a llevar una máscara hasta su muerte en 1978. Julia se dedicó a considerar el comportamiento de los números complejos cuando se efectúa reiteradamente una determinada operación. Me explico: Sea un número complejo –recordemos: una flecha– al que llamaremos z0. Lo vamos a multiplicar por sí mismo y le vamos a sumar otro número complejo al que llamaremos ‘c’. Una vez obtenido el resultado, repetimos una y otra vez la operación y estudiamos si este proceso tiende o no a infinito. En caso afirmativo, despreciaremos el número z0, y en caso negativo –es decir, si este proceso iterativo no tiende a infinito–, representaremos el número en cuestión en el plano. Si realizamos este proceso con millares de números complejos, obtendremos un contorno en el que están todos los complejos que, sometidos a la operación de elevarlos al cuadrado y sumarles una cantidad determinada repetidamente, no tienden a infinito.

Fig 3. Multiplicación de dos complejos

Fig 3. Multiplicación de dos complejos

Se puede refinar el proceso de la siguiente manera: representamos en color negro los puntos del plano que no tienden a infinito a consecuencia de la transformación, y empleamos distintos colores para representar la velocidad con que tienden a infinito los puntos restantes. En la figura 3 se ha representado el conjunto de Julia para un valor de c = 0,285 + 0,01i. Aparecen en color rojo los puntos que tienden a infinito más deprisa y en blanco los que tienden a infinito más despacio. El resto de la gama cromática se ha empleado para representar distintas velocidades.

Conjunto de Julia para c = 0,285+0,01i

Conjunto de Julia para c = 0,285+0,01i

En 1924 nació en Varsovia el matemático Benoît Mandelbrot. Cuenta la leyenda que en 1960, cuando fue invitado a impartir en el departamento de Economía de la universidad de Harvard una charla sobre la distribución de las rentas altas y bajas, al entrar en el despacho del profesor que lo había invitado observó en la pared unos gráficos que eran iguales a los que se disponía a presentar ante la audiencia. «¿Cómo ha conseguido mis gráficas?», preguntó Mandelbrot. El caso es que aquellas líneas representaban los precios del algodón en un determinado periodo. Mandelbrot se interesó por esta misteriosa semejanza y descubrió que estas analogías se podían encontrar entre multitud de datos económicos que no tuvieran nada que ver entre sí. Además, la similitud se encontraba también entre datos en una escala de tiempos de un día, o un mes, o un año, o una década. Sin saberlo, el matemático polaco acababa de descubrir la puerta de entrada a una nueva rama del conocimiento humano: las matemáticas de la complejidad y la teoría del caos.

Fractal de Mandelbrot z = z^7+c

Fractal de Mandelbrot z = z^7+c

Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot

Relámpagos

Relámpagos

Mandelbrot reparó en que estas formas complejas eran muy frecuentes –un copo de nieve, una línea de costa, una flor de brécol, un pulmón–: Si se observa un tramo recto de un relámpago y se amplía la imagen, resulta que aquello vuelve a tener forma de relámpago. Denominó ‘fractales’ a estas formas geométricas autosimilares que, para sorpresa de los matemáticos, pueden modelizarse con fórmulas sencillas como las que había imaginado Gaston Julia. Michael Barnsley es un matemático inglés que encontró un original modo de dibujar un helecho: Se toma papel cuadriculado, un lápiz y una moneda y se definen unas reglas. Por ejemplo, si se lanza la moneda y sale cara, el punto de partida se desplaza tres centímetros hacia el noreste, y si sale cruz, el nuevo punto se desplaza un 50% hacia el origen de coordenadas. A medida que se realiza varios miles de veces este algoritmo, se va obteniendo un dibujo con la forma de un helecho.

Helechos de Barnsley

Helechos de Barnsley

De una manera ingeniosa que no explicaremos, los matemáticos han estudiado la ‘fractalidad’ de una línea o de un diseño introduciendo dimensiones decimales. Como todo el mundo sabe, una recta tiene dimensión 1, un rectángulo tiene dimensión 2. Un fractal tiene una dimensión comprendida entre 1 y 2, tanto más cercana a 2 cuanto más intrincado es, por decirlo llanamente. Cuando un niño colorea un rectángulo en el colegio, en cada trazo que realiza va incrementando poco a poco la dimensión de su dibujo desde uno hasta que alcanza el dos al rellenar perfectamente todo el contorno.

 

JACKSON POLLOCK

Jackson Pollock

Jackson Pollock

Desconozco si es o no histórica una escena de la película biográfica dedicada al pintor expresionista americano en la que un espléndido Ed Harris –en una de sus mejores interpretaciones– por casualidad descubre la técnica de la pintura por goteo al arrojar involuntariamente óleo sobre un lienzo. A partir de este hecho acaso fortuito Jackson Pollock inaugura una manera nueva de aproximarse a la pintura esencialmente gestual y cinética. Pintura en acción se llamó a esta estrategia de atacar el lienzo que había tenido su origen en el azar. Por fin se cumplía el sueño romántico de los artistas plásticos: lo importante no es lo que pasa fuera del artista, lo importante es lo que pasa dentro, y a pintar estos paisajes interiores llenos de itinerarios y de rumbos se dedicará alguna de la mejor pintura abstracta de mediados del siglo XX.

No.-1

No. 1

¿Pero es esto realmente lo que refleja la pintura de Pollock? El cuadro suyo más caro vendido nunca –llamado lacónicamente ‘nº5, 1948’– alcanzó los 140 millones de dólares y fue adquirido por el financiero mexicano David Martínez Guzmán en 2006. La cotización alcanzada por las formidables creaciones de Jack el Gotero –como se referían a él sus detractores– y la sencillez aparente del método ha excitado la creatividad de los falsificadores de arte, que han hecho de Pollock uno de sus maestros favoritos. Sin embargo las matemáticas han demostrado que la labor de Pollock no podía ser realizada por cualquiera.

Full Fathom Five 1947

Full Fathom Five 1947

Convergence

Convergence

El análisis detallado de las obras de Pollock muestra que sus creaciones son fractales, es decir, si ampliamos una sección de una de sus obras, la volvemos a encontrar a pequeña escala. Al parecer, sólo cuando una sección se amplía mil veces se llega hasta las gotas elementales de pintura. Según el estudio realizado por un grupo de matemáticos de la universidad de Oregón dirigidos por Richard Taylor, en los comienzos de su carrera –hacia 1943– la dimensión fractal de los cuadros de Pollock estaba en torno a 1,45. A medida que iba perfeccionando su técnica, la dimensión fractal de sus cuadros fue aumentando hasta alcanzar 1,72 en ‘Polos azules’, su cuadro más complejo, que requirió del artista nada menos que seis meses de trabajo. Richard Taylor y su equipo, por encargo de los herederos del artista, se dedicaron a peritar mediante análisis fractal unas tres decenas de obras atribuidas y determinaron que todas ellas eran falsas.

Blue Poles

Blue Poles

Los lienzos de Pollock nos agradan por la misma razón que sentimos placer cuando nos colocamos bajo un árbol y vemos el cielo a través de las ramas y las hojas. Pese a que en primera aproximación pueden resultar misteriosos, en realidad reflejan lo que llevamos siglos viendo. Dondequiera que posamos la mirada –en la piel, en el iris de un ojo, en un muro, en la madera, en una roca o el agua en ebullición– encontramos que la complejidad está escrita en el alma de las cosas. Los cuadros de Pollock son el texto del mundo. 

Álvaro Fierro Clavero
 www.alvarofierro.com

Comentarios

  1. ¡qué interesante! ¿no podría decirlo mejor con un poema? Recuerdo que alguien decía a propósito de Piet Mondrian:
    …perseverancia de una gramática purísima
    dentro del caos, la explicación de la hermosura
    mediante vértices de espejo
    y estos rectángulos helados como resolución
    de la ecuación equis por hombre igual a tiempo.

    Espero que pase mañana un buen día (y todos los días)

Trackbacks

  1. candy crush game download

    adiciones. — Jackson Pollock y los fractales

  2. contorno de ojos biotherm

    adiciones. — Jackson Pollock y los fractales

  3. Interest on savings Account

    adiciones. — Jackson Pollock y los fractales

  4. what is auto insurance

    adiciones. — Jackson Pollock y los fractales

  5. […] Fierro, Jackson Pollock y los fractales, adiciones, […]

  6. how to win at the casino

    adiciones. — Jackson Pollock y los fractales

  7. RepoXR Repossession Software

    adiciones. — Jackson Pollock y los fractales

Deja un comentario