Jueves, 25 Mayo, 2017

El teorema de Morley


No entre aquí quien no sepa geometría.
Platón

Pero no se puede entender (El Gran Libro del Universo) a menos que se aprenda a comprender antes el lenguaje y se interpreten los caracteres en los que está escrito. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas…
Galileo Galilei

Papiro Rhind

Papiro Rhind

Los documentos más antiguos que nos informan acerca del nacimiento de la geometría hace unos cuatro mil años en el Antiguo Egipto son el papiro Rhind, que data del siglo XVI a.C. y es copia de otro papiro tres siglos más antiguo que se ha perdido, y el papiro de Moscú, escrito hacia el XIX a.C. Ambos documentos contienen también problemas aritméticos sobre progresiones, fracciones egipcias –es decir, las que tienen una unidad en el numerador–, así como resolución de ecuaciones, pero la mayor parte está dedicada al cálculo de áreas y volúmenes.

Euclides de Alejandría

Euclides de Alejandría

Ya Herodoto de Halicarnaso recoge en su Historia un relato acerca de los motivos que llevaron a los egipcios a inventar esta rama del conocimiento:

Papiro-de-Moscú

Papiro-de-Moscú

Dijeron que el faraón Sesostris I dividió la tierra entre todos los egipcios de modo que a cada uno le tocara un cuadrángulo de igual tamaño y tomara de cada uno sus ingresos, estableciendo un impuesto que se exigía anualmente. Pero cuando el río Nilo invadía una parte de alguno, éste tenía que ir a él y notificar lo que había sucedido. Enviaba entonces supervisores, quienes tenían que medir en cuánto se había reducido el terreno, para que el propietario pudiera pagar sobre lo que le quedaba, en proporción al impuesto total que se había fijado. En esta forma me parece que se originó la geometría y después pasó a la Hélade.

Teorema de Morley'

Teorema de Morley

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann

Este saber surgido a instancias del poder político con el fin de objetivar el pago de impuestos alcanzó un muy notable desarrollo en Grecia que culmina con la obra más reeditada y leída de todos los tiempos, los Elementos de Euclides, verdadera Summa Geométrica que reúne lo más granado del portentoso ingenio griego y que tras la creación, en el siglo XVII, de la geometría analítica por Descartes y Fermat y de la geometría proyectiva por Desargues, recoge nuestra concepción de la geometría hasta la llegada, ya en el siglo XIX, de la geometría diferencial y las geometrías no euclidianas de los inmortales matemáticos Gauss, Riemann, Bolyai y Lovachevsky.

Teorema de Morley'

Teorema de Morley

Aristarco de Samos

Aristarco de Samos

Entre los sensacionales logros de los geómetras griegos se encuentran el cálculo casi exacto de las dimensiones de la Tierra por Eratóstenes, la invención de la trigonometría y la determinación correcta de la distancia entre la Tierra y la Luna, por Hiparco; la teoría heliocéntrica y el primer intento serio, aunque erróneo, de cálculo de la distancia de la Tierra al Sol, por Aristarco de Samos, y ese colosal edificio de la razón deductiva que son los mencionados Elementos, modelo para todas las generaciones posteriores de científicos, matemáticos y filósofos de cómo se construye un sistema de pensamiento: a partir de cinco postulados se deriva la totalidad del saber geométrico de la época. Ese quinto postulado —dada una recta cualquiera, por un punto exterior a ella sólo puede trazarse una paralela— será objeto de controversia durante unos dos mil doscientos años: ¿era un postulado verdaderamente, o bien era un teorema, en cuyo caso podía derivarse de los cuatro postulados previos?

Teorema de Morley'

Teorema de Morley

Eratóstenes de Cirene

Eratóstenes de Cirene

La respuesta a esta cuestión resultó ser enormemente difícil de resolver: el quinto postulado es independiente de los cuatro primeros, y es posible construir las geometrías no euclidianas suponiendo que es falso, mientras que si se supone que es cierto lo que obtenemos es la vieja geometría euclidiana, que conforma el mundo en el que aparentemente nos desenvolvemos. Este descubrimiento supone en nuestra visión de las matemáticas una revolución comparable a la que supusieron en física la mecánica cuántica o las teorías especial y general de la relatividad: el mundo en que vivimos es algo extraordinariamente complejo y contrario a la intuición.

Teorema 4

Teorema de Morley

Frank Morley

Frank Morley

La venerable geometría de triángulos remite siempre a Grecia. Los primeros resultados importantes fueron los teoremas de Thales —de posible origen egipcio—, el omnipresente teorema de Pitágoras —al parecer ya conocido en China con anterioridad— y la fórmula de Herón para el cálculo del área del triángulo a partir del semiperímetro, que es de empleo habitual en la medición de terrenos. Imagino que no ha habido matemático importante en la historia que no haya explorado los triángulos a la búsqueda de nuevos teoremas, pero lo cierto es hace apenas un siglo, en 1899, el matemático norteamericano Frank Morley descubrió un bellísimo resultado de geometría elemental euclidiana que expondremos de manera simplificada:

Dado un triángulo cualquiera, si se trisecan sus ángulos las intersecciones resultantes determinan un triángulo equilátero

Teorema 5

Teorema de Morley

Hiparco de Nicea

Hiparco de Nicea

¡Todo triángulo imaginable contiene en su interior un triángulo equilátero que puede obtenerse sin más que trividir sus tres ángulos! Existen razones para ser pitagórico y confiar en la existencia de un orden numérico que soporta y da sentido al mundo. Sin ningún género de dudas, el cómputo y su aplicación a todos los órdenes de la existencia y la naturaleza es la gran aportación del género humano. Cuando se mide, se conoce, y cuando se conoce, se predice, se aprecia, se insertan unas cosas en otras y todo esto comienza a cobrar un enorme, un colosal sentido.

János Bólyai

János Bólyai

La razón fundamental para que este teorema de apariencia griega haya permanecido sin ser descubierto hasta el filo del siglo XX seguramente estriba en que los griegos circunscribieron sus investigaciones geométricas a la regla y el compás, que eran los medios con que contaban. La trisección de un ángulo no puede conseguirse con estos venerables instrumentos, y junto con la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, es el gran problema geométrico que los griegos intentaron resolver sin éxito y legaron a la posteridad. Esta limitación del pensamiento geométrico clásico ha quedado inserta en las matemáticas y acaso explique la tardanza en llegar al resultado de Morley.

Nicolai Lobachevski

Nicolai Lobachevski

Pero es que es inevitable pensar que este orden íntimo del mundo no está completo y todavía existen cientos de teoremas geométricos esperando su oportunidad de ser descubiertos. El ingenio matemático tiene multitud de metas perfectamente asequibles para alguien que les dedique atención. La vieja pregunta filosófica acerca de cómo es posible el conocimiento tiene respuesta: Vivimos en un mundo que es mensurable, y por tanto cognoscible, gracias al gran invento de los números y hemos venido al mundo para medir. Por tanto, el objeto del conocimiento es determinar cantidades y compararlas, hallar proporciones, semejanzas, invariantes, formular leyes y vaticinios, prever consecuencias, estimar efectos y obrar en consecuencia. El hecho de que el mundo sea comprensible deriva del hecho de que es medible.

Herón de Alejandría

Herón de Alejandría

Nada es ajeno a los números. Ni siquiera nuestra esperanza lo es, ni siquiera el amor, el tedio, el entusiasmo lo son. Todo tiene un porqué numérico que se deriva suavemente de nuestra indestructible tendencia a medir: Otro ha llegado hasta aquí, eso está a mi alcance y por eso tengo esperanza. Otro tiene hasta aquí, y yo tengo menos, y por eso siento envidia.

Thales de Mileto

Thales de Mileto

Hay otra enseñanza maravillosa que acaso encierra el teorema de Morley: Cualquier triángulo, ya sea escaleno, isósceles o rectángulo, tiene un corazón equilátero. ¿En qué medida será esto aplicable a todo cuanto existe? ¿No será el teorema de Morley una constatación matemática de la teoría de las ideas de Platón, y en el interior de las cosas perecederas y frágiles, envejecidas, imperfectas y gastadas late imperturbable y perfectísima la idea platónica que ese humilde objeto materializa y nos ofrece?

 Álvaro Fierro Clavero

Comentarios

  1. El hecho de que el mundo sea medible deriva del hecho de que es comprensible (porque es imagen de Dios). Por eso San Agustín experimentó una revelación con los neoplatónicos pero luego los “superó”. La Matemática no puede fundamentar nada, todo lo que nos dice es tautología (lo que no es óbice para que la amemos).

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